Produit d'intersection et corps de newton okounkov // newton okounkov intersection products.

Topic description

Le projet en question tourne autour des corps de Newton Okounkov, un invariant récent des fibrés en droits sur les variétés algébriques, qui encode des informations précises sur le comportement asymptotiques des multisections de nL pour n grand.

La plupart des applications marquants de cet invariant qui ont été faits pour l'instant concerne ses liens avec le volume, un mesure de positivité basée principalement sur le nombre de multisections d'un fibré en droites. De nombreux travaux basés sur cet invariant ont permis d'une part de mieux comprendre le comportement du volume sous perturbation du fibré en droites, et d'autre part de créer, étudier et appliquer des fonctions analogues basées sur des comportements asymptotiques d'objets géométriques. Citons par exemple les résultats de convergence de la distribution des points de sauts de filtrations obtenus par Boucksom et Chen ou encore les résultats sur la convergence de la distribution des valeurs propres de métriques hermitiennes sur des espaces de multisections obtenus par Chen et Maclean.

Le volume n'est pas le seul ni même le principal invariant servant à étudier la positivité des fibrés en droites: d'autres approches se basent plutôt sur les notions de produit d'intersection. Autant les liens entre la géométrie convexe du corps de Newton Okounkov et le volume sont bien établis et bien compris, autant peu de choses sont connues sur les éventuels liens entre ces corps et les produit d'intersection (classiques ou positifs).

Récemment un résultat intriguant a été déposé sur arxiv, établissant un lien entre les corps de Newton Okounkov et le produit d'intersection. Dans ce preprint Robert Wims montre dans le cas ample que le produit d'intersection d'une famille de fibrés en droites ample est donné par le volume mixte de leur corps de Newton Okounkov.

L'objectif de ce projet est d'explorer plus en détail un éventel lien entre produits d'intersection et volumes mixtes.

Trois questions naturelles en particulier seront étudiées :

* D'abord, nous essayerons de généraliser le formule obtenu par Robert Wilms à des fibrés pas nécessairement amples.

* Dans le cadre de l'étude des volumes, les corps de Newton Okounkov ont été utilisés pour définir et étudier des fonctions similaires pour des classes plus générales d'anneaux de sections, pas nécessairement complètes. Puisque le volume mixte d'une famille de corps de Newton Okounkov permet de calculer les produits d'intersections, il semble naturelle d'essayer d'associer par la même démarche des 'produits de type intersection positive' à des algèbres non complets.

* Dans un dernier temps, nous ferons interagir les fonctions de type produits de type intersection définis ci dessus avec la théorie des algèbres approximables proposé par Chen et étudiée par la porteuse principale de ce projet. Les algèbres approximables sont ceux qui peuvent être bien approchés par des algèbres de génération finie : le théorème de Fujita garantit que ceci sera le cas pour des sous algèbres d'anneaux de section. Ils ne sont pas toujours associé à des diviseurs, mais sont toujours naturellement des sous anneaux de dimension pleine de limites de diviseurs dans un sens défini dans un cercle de travaux de la porteuse principale de ce projet. Il leur est associé des corps de Newton Okounkov ce qui devrait permettre d'y associer des produits d'intersection.
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The project in question revolves around Newton–Okounkov bodies, a recent invariant of line bundles on algebraic varieties that encodes precise information about the asymptotic behavior of sections of nL for large n.

Most of the notable applications of this invariant so far concern its relationship with volume, a measure of positivity mainly based on the number of sections of a line bundle. Numerous works based on this invariant have, on the one hand, led to a better understanding of the behavior of volume under perturbations of the line bundle, and on the other hand, enabled the creation, study, and application of analogous functions based on the asymptotic behavior of geometric objects. Examples include the convergence results for the distribution of filtration jumping points obtained by Boucksom and Chen, as well as the results on the convergence of the distribution of eigenvalues of Hermitian metrics on spaces of sections obtained by Chen and Maclean.

Volume is neither the only nor even the main invariant used to study the positivity of line bundles: other approaches rely instead on notions of intersection products. While the links between the convex geometry of Newton–Okounkov bodies and volume are now well established and well understood, very little is known about possible connections between these bodies and intersection products (classical or positive).

Recently, an intriguing result was posted on arXiv establishing a connection between Newton–Okounkov bodies and intersection products. In this preprint, Robert Wilms shows, in the ample case, that the intersection product of a family of ample line bundles is given by the mixed volume of their Newton–Okounkov bodies.

The objective of this project is to explore in greater detail a possible connection between intersection products and mixed volumes.

In particular, three natural questions will be investigated:

First, we will attempt to generalize the formula obtained by Robert Wilms to line bundles that are not necessarily ample.
In the study of volumes, Newton–Okounkov bodies have been used to define and study similar functions for more general classes of section rings, not necessarily complete ones. Since the mixed volume of a family of Newton–Okounkov bodies makes it possible to compute intersection products, it seems natural to try, through the same approach, to associate “positive intersection-type products” to non-complete algebras.
Finally, we will study the interaction between the intersection-type functions defined above and the theory of approximable algebras proposed by Chen and further studied by the principal investigator of this project. Approximable algebras are those that can be well approximated by finitely generated algebras: Fujita's theorem guarantees that this is the case for subalgebras of section rings. They are not always associated with divisors, but they are nevertheless naturally full-dimensional subalgebras of limits of divisors, in a sense defined in a body of work by the principal investigator of this project. Newton–Okounkov bodies are associated with them, which should make it possible to define corresponding intersection products.
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Début de la thèse : 01/10/

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