Théories conformes en mécanique statistique // conformal theories in statistical mechanics

Topic description

Ce projet de thèse se situe à l'intersection des probabilités et de la physique, en co-encadrement, avec pour but d'étudier le comportement critique et l'invariance conforme de différents modèles en dimension deux.

Pour ce qui concerne la partie proprement probabiliste : le champ libre gaussien (GFF) est une mesure de probabilité naturelle sur un espace de distributions sur un domaine du plan, dont la fonction de corrélation est donnée par la fonction de Green associée au laplacien sur le domaine. Il apparaît comme limite d'échelle de plusieurs modèles discrets : fonctions de hauteur du modèle de dimères, champ de magnétisation du modèle d'Ising, et plus récemment un article important [DCKLM] le relie au modèle à six vertex, lui-même connecté à un grand nombre de modèles aléatoires.

Nous étudierons une généralisation à valeurs complexes du GFF, pour lequel une conjecture naturelle est qu'il apparaît comme limite d'échelle du champ de magnétisation du modèle de Potts à trois couleurs. Plus précisément, en associant une racine cubique de l'unité à chacune des trois valeurs possibles des spins du modèle de Potts, chaque configuration sur un réseau peut être vue comme une distribution (aléatoire) à valeurs complexes portée par les sommets du réseau, dont on cherchera à comprendre la limite d'échelle quand la maille du réseau tend vers zéro. Les conjectures habituelles d'invariance conforme entrainent sans doute que cette limite est une variante du GFF, mais cela n'a pas encore été démontré ; et sans ces conjectures, notre but sera d'explorer ce que les méthodes de [CDKLM] peuvent permettre de démontrer dans cette direction.

Pour ce qui concerne la partie plus orientée vers la physique : les théories conformes des champs de Toda sont une famille de modèles
probabilistes se situant à l'intersection de nombreuses thématiques de
recherche: physique mathématique et statistique; géométrie algébrique,
complexe et aléatoire; théorie des représentations et algèbres vertex;
systèmes intégrables

En nous basant sur la définition probabiliste de ces modèles [CRV] nous
étudierons certaines de leurs propriétés et notamment leur solvabilité, ce
qui se traduit par le calcul de leurs fonctions de corrélation. Ainsi un
objectif de ce projet de thèse est de parvenir à établir de nouvelles
formules «à la DOZZ» [KRV, C] pour ces théories, pour l'instant
inconnues même dans la littérature physique. Pour ce faire nous nous
intéresserons à leurs algèbres de symétrie en établissant des liens entre
des structures algèbriques, les W-algèbres, et la définition probabiliste
des théories de Toda, permettant d'implémenter des méthodes issues des
algèbres vertex dans un cadre plus analytique et probabiliste.
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This PhD proposal lies at the intersection of probability theory and mathematical physics, under two co-advisors, with the aim of studying the critical behavior and conformal invariance of several models in dimension two.

Concerning the purely probabilistic direction : the Gaussian free field (GFF) is a natural probability measure on a space of distributions supported on a planar domain, having as its two-point function the Green function of the Laplacian on the domain. It appears at the scaling limit of different discrete models : height function of dimer models, magnetization field of the Ising model, and more recently a striking progress [DCKLM] links it to the six-vertex model, itself unifying many models from statistical physics.

We will study a complex-valued generalization of the GFF, for which it is natural to conjecture that it appears at the scaling limit of the magnetization field of the three state Potts model. More precisely, associating a cubic root of unity to each of the three possible values of the spins of the model, every configuration on a given lattice can be seen as a distribution supported on the vertices of the lattice, and we are interested in the scaling limit of that distribution as the lattice mesh vanishes. The usual conjectures of conformal invariance certainly imply that the limit is a variant of GFF, although a formal proof is still missing; without those conjectures, our goal will be to explore what the methods developed in [CDKLM] can provide in that direction.

Concerning the direction more linked with theoretical physics: Toda conformal field theories form a family of probabilistic
models lying at the intersection between several very active areas of
research: statistical and mathematical physics, algebraic, complex and
random geometry, representation theory of vertex algebras, integrable
systems

Based on the probabilistic definition of these models [CRV] we will study
some of their features and in particular their solvability, that is to say
the computation of their correlation functions. In this perspective a goal
of this PhD project is to establish new formulas «à la DOZZ» [KRV, C]
for these theories, for which there is no proposed expression even in the
physics literature. To do so we will establish connections between their
algebras of symmetry, which are W-algebras, and the probabilistic
construction of Toda theories. This will in turn allow to implement vertex
algebra techniques within an analytic and probabilistic framework.
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Début de la thèse : 01/10/

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