Prolongement de solutions en théorie du potentiel: obstructions géométriques et applications à l'approximation // 111 extension of solutions in potential theory: geometric obstructions and applications to approximation

Topic description

Ce sujet d'étude doctoral porte sur le prolongement des fonctions harmoniques. L'obstruction à un tel prolongement est l'apparition de singularités paramétriques (dépendant de la donnée au bord g) et de singularités géométrique (dépendant de la géométrie du domaine D), et comprendre les lieux d'apparition de ces singularités permet d'accélérer considérablement les méthodes d'approximation.
Ces méthodes d'approximation à convergence rapide ont notamment permis de faire les premières simulations de surfaces minimales à bords libres et à topologie non-trivial avec une grande précision numérique, à partir de la correspondance entre les surfaces minimales à bord libre et l'optimisation spectralede l'opérateur de Steklov découverte qui ont engendré des progrès considérables dans la compréhension de ces surfaces.
La localisation de singularités est comprise seulement dans certains cas particuliers d'ensembles algébriques.
L'objectif sera double: d'un côté, décrire plus précisément les lieux d'apparition des singularités géométriques dans une large classe de domaines, notamment en identifiant les mécanismes d'apparition de ces singularités.
De l'autre, étudier la convergence de certaines méthodes heuristiques d'approximation rationnels pour la localisation numérique de ces singularités, sur lesquelles très peu de résultats théoriques sont connus.
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This doctoral research topic focuses on the analytic continuation of harmonic functions. The obstruction to such continuation is the appearance of parametric singularities (depending on the boundary data g) and geometric singularities (depending on the geometry of the domain D), and understanding the locations where these singularities arise allows for a considerable acceleration of approximation methods.
These fast-converging approximation methods have in particular enabled the first simulations of minimal surfaces with free boundaries and non-trivial topology at high numerical precision, building on the correspondence between free boundary minimal surfaces and the spectral optimization of the Steklov operator — a discovery that has generated considerable progress in the understanding of these surfaces.
The localization of singularities is understood only in certain special cases of algebraic sets.
The objective will be twofold: on one hand, to describe more precisely the locations where geometric singularities appear in a broad class of domains, in particular by identifying the mechanisms through which these singularities arise.
On the other hand, to study the convergence of certain heuristic rational approximation methods for the numerical localization of these singularities, about which very few theoretical results are currently known.
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Début de la thèse : 01/10/

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