Calcul des variations dans les espaces métriques mesurés: relaxation, homogénéisation et régularité // calculus of variations in metric measure spaces: relaxation, homogenization and regularity

Topic description

Les espaces métriques mesurés offrent un cadre naturel pour modéliser les structures élastiques de faible dimension (poutres, membranes, coques) dont une ou plusieurs dimensions sont négligeables. Le support d'une mesure de Radon positive représente le placement de la structure, soumise à des efforts extérieurs et des conditions aux limites. Les états d'équilibre minimisent l'énergie élastique, et les méthodes de Γ-convergence permettent de traiter les cas sans solution classique via des problèmes relaxés équivalents.
Si le cadre convexe et euclidien est aujourd'hui bien établi, le cadre non convexe et non euclidien, développé notamment au laboratoire MIPA de Nîmes Université a introduit de nouveaux concepts : quasiconvexité spécifique aux cadres des espaces métriques mesurés (voir [3]), théorèmes sous-additifs, premières formulations de l'homogénéisation dans ce contexte (voir [1] et [4]). Ce projet vise à approfondir ces travaux selon trois axes.
1. Relaxation non convexe. La modélisation des structures de faible dimension en contact ou en jonction pose des difficultés liées à l'hypothèse de mesure doublante. Travailler dans des espaces euclidiens munis d'une mesure de Radon positive permet de s'affranchir de cette contrainte. L'objectif est de développer des théorèmes de relaxation [1,2], et d'aborder la réduction de dimension par Γ-convergence dans ce cadre.
2. Homogénéisation dans les espaces métriques mesurés. L'homogénéisation produit des modèles effectifs pour des matériaux hétérogènes à microstructure périodique ou aléatoire. Son extension aux espaces métriques mesurés reste peu explorée, l'absence de translations et dilatations naturelles constituant la principale difficulté. Certains espaces non euclidiens dotés de telles structures offrent un terrain privilégié. Au-delà du cadre périodique, l'homogénéisation stochastique, fondée sur des théorèmes ergodiques sous-additifs [4], constitue une direction naturelle en lien direct avec les travaux déjà menés à MIPA.
3. Régularité des minimiseurs. La régularité en calcul des variations vectoriel est un domaine classique en cadre euclidien, illustrée par les travaux de Giusti et Giaquinta. Sa transposition aux espaces métriques mesurés est largement ouverte, en s'appuyant sur les notions de différentiabilité de Cheeger et d'espaces de Cheeger-Sobolev.
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Metric measure spaces provide a natural framework for modelling low-dimensional elastic structures (rods, membranes, shells) in which one or more dimensions are negligible. The support of a positive Radon measure represents the domain of the structure, subject to external loads and boundary conditions. Equilibrium states correspond to minimizers of the elastic energy, and Γ-convergence methods handle cases without classical solutions through equivalent relaxed problems.
While the convex Euclidean setting is now well established, the nonconvex and non-Euclidean framework, developed in particular at the MIPA laboratory of the University of Nîmes, has introduced new concepts: quasiconvexity specific to the metric measure space setting (see [3]), subadditive theorems, and the first formulations of homogenization in this context (see [1] and [4]). This project aims to deepen these contributions along three axes.
1. Nonconvex Relaxation. Modelling junctions and contacts between low-dimensional structures raises specific difficulties, notably related to the doubling measure assumption. Working in Euclidean spaces equipped with a positive Radon measure removes this constraint. The objectives are to develop relaxation theorems [1, 2], and to address dimension reduction via Γ-convergence.
2. Homogenization in metric measure spaces. Homogenization produces effective models for heterogeneous materials with periodic or random microstructure. Its extension to metric measure spaces remains largely unexplored, the absence of natural translations and dilations being the main obstacle. Certain non-Euclidean spaces endowed with such structures provide a privileged setting. Beyond the periodic case, stochastic homogenization, based on subadditive ergodic theorems [4], is a natural direction closely connected to work already carried out at MIPA.
3. Regularity of minimizers. Regularity in vectorial calculus of variations is a classical topic in the Euclidean setting, exemplified by the foundational work of Giusti and Giaquinta. Its transposition to metric measure spaces is largely open, relying on Cheeger's differentiability theory and Cheeger-Sobolev spaces.
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Début de la thèse : 01/10/

Funding category

Public funding alone (i.e. government, region, European, international organization research grant)

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Concours pour un contrat doctoral