Topic description
Les méthodes polytopales d'ordre arbitraire forment une méthodologie relativement récente, qui permet de concevoir des approximations numériques de modèles physiques complexes sur des maillages formés de polygones/polyhèdres généraux et avec une autre précision. Leurs principes s'inspirent des méthodes éléments finis historiques, mais en adoptant une approche “haut niveau” qui amène à des réductions notables de coût de calcul, en particulier grâce aux caractéristiques suivantes: (i) élimination de la nécessité de construire des fonctions de base explicites (ce qui réduit, à précision égale, le nombre de degré de liberté et donc la taille des systèmes considérés), (ii) gestion de maillages généraux (ce qui permet une représentation de domaines à géométrie complexe avec moins de mailles, et donc moins de degrés de liberté), (iii) application de techniques systématiques pour réduire davantage la taille des systèmes globaux (sérendipité, condensation statique, etc.). Les méthodes polytopales ont déjà démontré leur capacité, sur des modèles complexes, de surpasser les méthodes éléments finis usuelles par des réductions notables en coût/temps de calcul [Di Pietro et al, ; Touzalin, ].
L'objectif de cette thèse est d'explorer l'application des méthodes polytopales à la simulation (directe et inverse) de tomographie de résistivité électrique 3D, en milieu hautement fracturé. Il s'agit de concevoir un schéma efficace qui exploite les propriétés de méthodes polytopales pour pouvoir effectuer de nombreuses simulations à coût réduit, sur des sous-sols avec multiples formes de réseaux de fracture. Nous partirons d'une méthode éprouvée (Hybrid High-Order (HHO)) qui a déjà été utilisée pour l'analyse d'écoulements en milieux fracturés, et l'adapterons aux équations représentant la réponse électrique d'un sous-sol à une série d'impulsions – processus usuel de récupération de données en tomographie. L'algorithme devra être conçu pour exploiter cette forme d'impulsions distribuées, et en particulier éviter de re-calculer des quantités communes à toutes les simulations. Pour économiser en temps de calcul, un travail devra être fait sur le maillage du sous-sol, pour à la fois représenter ses fractures mais aussi éviter de sur-mailler des régions non-fracturées. Pour ceci nous exploiterons GMesh [Geuzaine et al., ], un mailleur 3D open-source qui va très bientôt inclure un support pour des mailles polyhédriques; GMesh est déjà utilisé dans des contextes industriels et a montré sa robustesse dans de nombreuses géométries très complexes.
Les résultats attendus sont: (i) une méthode numérique efficace et peu chère pour la simulation directe des modèles 3D tomographie de résistivité électrique, (ii) un implémentation efficace via un mailleur performant et des libraries dédiées aux méthodes polytopales, (iii) l'application de cette méthode à des problèmes inverses.
Références:
Di Pietro, D. A. and Droniou, J.. A discrete de Rham method for the Reissner–Mindlin plate bending problem on polygonal meshes. Comput. Math. Appl., :–.
Touzalin, A.. Méthode des éléments virtuels pour la discrétisation des équations intégrales de frontière en électromagnétisme dans le domaine fréquentiel. PhD Thesis, CEA-CESTA.
Geuzaine C. and Remacle, J.-F.. Gmsh: A 3-D finite element mesh generator with built-in pre- and post-processing facilities, International Journal for Numerical Methods in
Engineering 79.11, pp. –. doi: polytopal methods constitute a relatively recent methodology that allows for the design of numerical approximations of complex physical models, on meshes formed of general polygons/polyhedra and with a chosen level of accuracy. Their principles are inspired by historical finite element methods, but adopting a 'high-level' approach that leads to significant reductions in computational cost, particularly due to the following characteristics: (i) elimination of the need to construct explicit basis functions (which reduces, for the same accuracy, the number of degrees of freedom and therefore the size of the systems considered), (ii) management of general meshes (which allows for the representation of domains with complex geometry with fewer cells, and therefore fewer degrees of freedom), (iii) application of systematic techniques to further reduce the size of global systems (serendipity, static condensation, etc.). Polytopal methods have already demonstrated their ability, on complex models, to outperform conventional finite element methods by offering significant reductions in computational cost and time [Di Pietro et al., ; Touzalin, ].
The objective of this thesis is to explore the application of polytopal methods to the (forward and inverse) simulation of 3D electrical resistivity tomography in highly fractured environments. The aim is to design an efficient scheme that exploits the properties of polytopal methods to perform numerous simulations at reduced cost on subsurfaces with various fracture network patterns. We will start with a proven method (Hybrid High-Order (HHO)) that has already been used for flow analysis in fractured media and adapt it to the equations representing the electrical response of a subsurface to a series of pulses – a common data acquisition process in tomography. The algorithm must be designed to exploit this form of distributed pulses, and in particular, avoid recalculating quantities common to all simulations. To save computation time, work must be done on the subsurface mesh, both to represent its fractures and to avoid over-meshing non-fractured regions. For this, we will use GMesh [Geuzaine et al., ], an open-source 3D mesher that will soon include support for polyhedral meshes; GMesh is already used in industrial contexts and has demonstrated its robustness in many highly complex geometries.
The expected results are: (i) an efficient and inexpensive numerical method for the direct simulation of 3D electrical resistivity tomography models, (ii) an efficient implementation via a high-performance mesher and libraries dedicated to polytopal methods, and (iii) the application of this method to inverse problems.
References:
Di Pietro, D. A. and Droniou, J.. A discrete de Rham method for the Reissner–Mindlin plate bending problem on polygonal meshes. Comput. Math. Appl., :–.
Touzalin, A.. Méthode des éléments virtuels pour la discrétisation des équations intégrales de frontière en électromagnétisme dans le domaine fréquentiel. PhD Thesis, CEA-CESTA.
Geuzaine C. and Remacle, J.-F.. Gmsh: A 3-D finite element mesh generator with built-in pre- and post-processing facilities, International Journal for Numerical Methods in
Engineering 79.11, pp. –. doi: de la thèse : 01/10/
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