Calcul fonctionnel des c0-semigroupes agissants sur un espace de banach umd // functional calculus of c0-semigroups acting on a umd banach space

Topic description

Depuis les travaux fondamentaux de Stein et Cowling, la théorie spectrale des semigroupes est devenue un sujet mathématique large et beaucoup de mathématiciens y travaillent aujourd'hui. Les semigroupes markoviens et sous-markoviens forment une classe prépondérante. Ils consistent notamment d'opérateurs contractifs sur l'échelle des espaces Lp(Omega) avec 1 Dans ce projet de thèse, nous proposons d'étudier des semigroupes qui agissent sur des espaces de Banach plus généraux que les Lp, comme notamment des (treillis de Banach) UMD. La propriété UMD (unconditional martingale differences) s'est avérée primordiale dans la théorie de l'analyse harmonique dans des espaces de fonctions à valeurs vectorielles, elle caractérise p.ex. les espaces X tels que la transformée de Hilbert est bornée sur Lp(R,X). Nous nous intéressons aux liens entre des propriétés de l'espace UMD et le calcul fonctionnel d'un semigroupe qui agit dessus.
On examinera aussi les liens entre nos semigroupes et leur analyticité ainsi que les versions discrètes des semigroupes qui sont les opérateurs de Ritt. Enfin nous aborderons certaines questions liées à l'hypercontractivité ou les opérateurs décomposables, et nous examinerons certains problèmes d'analyse harmonique ou les liens avec la géométrie non commutative.
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Since the foundational work of Stein and Cowling, the spectral theory of semigroups has become a broad mathematical subject, and many mathematicians work on it today. Markovian and sub-Markovian semigroups form a predominant class. They consist, in particular, of contractive operators on the scale of Lp(Omega) spaces with 1 < p < °° that are self-adjoint on L². A prominent example is the heat semigroup on Lp(Rd), given by convolution with a Gaussian kernel. One of the important spectral properties is the functional calculus H°° of the generator A of the semigroup; for the heat semigroup, this is the Euclidean Laplacian. Indeed, bounds of a spectral multiplier m(A) for a holomorphic function m bounded on a sector of the complex plane lead, for example, to the maximal regularity of an evolution equation associated with A, or to estimates of square functions such as the Littlewood-Paley spectral decomposition. When the underlying space is an Lp space, progress in the functional calculus H°° of sub-Markov semigroups spans from the s-80s to the s-s, with the near-optimal result obtained in .
In this thesis project, we propose to study semigroups that act on Banach spaces more general than Lp spaces, such as UMD (Banach lattices). The UMD (unconditional martingale differences) property has proven crucial in the theory of harmonic analysis in spaces of vector-valued functions; it characterizes, for example, spaces X such that the Hilbert transform is bounded on Lp(R,X). We are interested in the links between properties of the UMD space and the functional calculus of a semigroup acting on it.
We will also examine the links between our semigroups and their analyticity, as well as the discrete versions of the semigroups that are Ritt operators. Finally, we will address certain questions related to hypercontractivity or decomposable operators, and we will examine certain problems of harmonic analysis or the links with noncommutative geometry.
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Début de la thèse : 01/10/
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