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CONTEXTE SCIENTIFIQUE
Les transformations de phase jouent un rôle crucial dans la fabrication des matériaux métalliques, car elles déterminent la microstructure — et donc les propriétés — du matériau. Lors de la fabrication additive (impression 3D), le métal en fusion se solidifie en une structure cristalline, puis des transformations de phase ultérieures se produisent à l'état solide, donnant lieu à des microstructures complexes (dendrites, précipités) dont la morphologie et la disposition spatiale conditionnent directement les propriétés d'usage de la pièce.
Suivre expérimentalement ces transformations reste un défi majeur. Les approches actuelles se répartissent en deux catégories. La plus courante repose sur des signaux macroscopiques sensibles à la microstructure : variations de volume (dilatométrie), résistivité électrique, puissance thermoélectrique, ou encore diffraction des rayons X conventionnelle ou synchrotronique analysée sur l'ensemble de l'échantillon. L'approche la plus sophistiquée consiste en une imagerie in situ par microscopie électronique ou à rayons X, qui fournit des informations spatialement résolues sur la microstructure en évolution, mais est techniquement exigeante et difficile à déployer à grande échelle. Une voie intermédiaire et hautement souhaitable consisterait à mesurer des signaux locaux en surface d'un échantillon, à partir desquels la microstructure complète pourrait être reconstruite. Avant toute mise en œuvre expérimentale, la faisabilité théorique d'une telle approche doit être établie à l'aide d'un modèle capable de reproduire la complexité des microstructures réelles.
Les modèles de champ de phase décrivent ces transformations par des EDP de réaction-diffusion non linéaires, couplées à des champs externes (température, composition chimique, contraintes, écoulement de liquide, etc.). Résolus par des méthodes classiques (différences finies, éléments finis, spectral de Fourier) ou par réseaux de neurones, ces modèles exigent des discrétisations spatio-temporelles fines en raison de leur nature multi-échelle, engendrant des temps de calcul prohibitifs pour des études paramétriques ou un passage à l'échelle du procédé.
OBJECTIFS DE LA THÈSE
Cette thèse vise à implémenter des « observateurs » — outil issu de la théorie du contrôle — pour les modèles de champ de phase. Un observateur intègre des mesures expérimentales partielles dans le modèle afin de reconstruire le champ de transformation complet. Leur efficacité est établie pour les EDP linéaires et des résultats existent pour les EDP non linéaires, mais leur application aux modèles de champ de phase reste inédite.
La conception de l'observateur s'appuiera sur la méthode du backstepping, qui consiste à trouver une application inversible entre l'erreur de l'observateur et un système cible sous des hypothèses appropriées. Ce cadre, récemment établi pour les EDP linéaires et partiellement étendu aux EDP non linéaires, y reste sous-optimal car trop dépendant de la dynamique de la partie linéaire sous-jacente. L'objectif est de s'affranchir de cette dépendance en apprenant directement la transformation de backstepping non linéaire à l'aide de réseaux de neurones inversibles (INN). Plutôt que de linéariser le problème, les INN approximent l'application inversible entre deux EDP non linéaires, tirant parti de leur capacité naturelle à traiter non-linéarités et EDP paramétriques, en s'appuyant sur le code de simulation existant.
Une fois cette application obtenue, l'observateur permettra d'exploiter directement des mesures expérimentales de surface pour reconstruire l'état microstructural complet, sans recourir à de multiples simulations.
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SCIENTIFIC BACKGROUND
Phase transformations play a crucial role in the elaboration of metallic materials, as they determine the microstructure — and therefore the properties — of the material. They occur, for example, during additive manufacturing (3D printing) of a metal part: the molten metal first solidifies into a crystalline structure, after which further solid-state phase transformations occur, giving rise to complex microstructures (dendrites, precipitates) whose morphology and spatial arrangement directly govern the part's in-service properties and their evolution under service conditions.
Monitoring these transformations experimentally is of critical importance, yet remains a major challenge. Current approaches fall into two categories. The most common relies on macroscopic signals sensitive to the microstructure: volume changes (dilatometry), electrical resistivity, thermoelectric power, or X-ray diffraction (conventional or synchrotron) analysed over the whole sample. The most sophisticated approach uses direct in situ imaging by electron or X-ray microscopy, providing spatially resolved information on the evolving microstructure, but is technically demanding and difficult to implement at scale. A highly desirable intermediate approach would consist in measuring local signals at the sample surface from which the full microstructure could be reconstructed. Before such a technique can be experimentally implemented, its theoretical feasibility must first be established using a model capable of reproducing the complexity of real microstructures — the phase-field model being the best candidate, as it can readily be coupled to the physical fields relevant to such measurements.
Phase-field models describe these transformations through nonlinear reaction-diffusion PDEs coupled to external fields (temperature, chemical composition, stresses, liquid flow, etc.). Today, such PDEs are generally solved numerically with classical discretization methods (finite difference, finite element, Fourier spectral, etc.), and more recently with neural network-based techniques. The multi-scale and nonlinear nature of these models, however, requires fine spatio-temporal discretizations, leading to computation times prohibitive for scaling up to the process level or conducting extensive parametric studies.
OBJECTIVES OF THE THESIS
This thesis aims to implement 'observers' — a tool from control theory — for phase-field models. An observer incorporates partial experimental measurements into the model in order to reconstruct the complete phase transformation field. Their effectiveness is well established for linear PDEs and some results exist for nonlinear PDEs, but their application to phase-field models of the type under consideration remains unexplored.
Observer design will be investigated through the backstepping method, which seeks an invertible mapping between the observer error and a target system under appropriate hypotheses — a framework recently established for linear PDEs and partially extended to nonlinear PDEs. The practical implementation for nonlinear PDEs, however, remains suboptimal as it relies heavily on the underlying linear dynamics. The goal is to overcome this limitation by learning the nonlinear backstepping transformation directly using Invertible Neural Networks (INN). Rather than linearising the problem, INNs approximate the invertible mapping between two nonlinear PDEs, leveraging their natural ability to handle nonlinearities and parametric PDEs, using the existing simulation code.
Once this mapping is obtained, the observer will enable direct use of experimental surface measurements to reconstruct the full microstructural state, without resorting to numerous simulations to identify the corresponding phase transformation.
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Début de la thèse : 01/10/
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