Simulation et inférence pour les réseaux biologiques de neurones décrits par des diffusions stochastiques conditionnellement linéaires // simulation and inference for biological neural networks described by conditionally linear stochastic diffusions

Topic description

La modélisation mathématique de l'activité électrique des neurones se situe à la croisée des neurosciences, de la théorie des probabilités et de la statistique. Les modèles de Hodgkin–Huxley, introduits dans les années pour décrire la propagation du potentiel d'action dans l'axone géant du calmar, demeurent une référence incontournable. Leur formulation stochastique — obtenue en ajoutant un bruit brownien aux équations différentielles ordinaires d'origine — conduit à des équations différentielles stochastiques (EDS) qui rendent compte des fluctuations intrinsèques des canaux ioniques et de l'environnement cellulaire. Une compréhension approfondie de ces modèles est indispensable pour l'analyse des données d'électrophysiologie ainsi que pour la conception d'interfaces neurales ou de stimulateurs cérébraux.
Le point de départ du projet est un système d'EDS de type Hodgkin–Huxley dont la première équation régit le potentiel de membrane V, soumis à des termes de courant ionique dépendant des variables de grille U et perturbé par un bruit brownien additif d'intensité σ. La seconde équation est une équation différentielle ordinaire aléatoire gouvernant les variables de grille U (activation et inactivation des canaux ioniques), dont les taux d'ouverture et de fermeture α et β, dépendant du voltage, sont des fonctions non linéaires de V. Ce système couple une véritable EDS à une équation différentielle ordinaire aléatoire, ce qui requiert des outils analytiques et numériques spécialisés (cf. Réf. 3 de la bibliographie).
Pour modéliser un réseau biologique de N neurones en interaction, le système à un seul neurone est étendu à un système couplé de N EDS, chacune dirigée par des mouvements browniens indépendants et complétée par un terme d'interaction de champ moyen faisant intervenir un noyau synaptique K. Lorsque N → ∞, sous des hypothèses appropriées, ce système converge vers une limite de champ moyen, phénomène connu sous le nom de propagation du chaos (cf. Réf. 1 de la bibliographie). L'étude théorique et numérique de cette limite constitue un axe central de la thèse.
Dans ce projet de doctorat, les aspects numériques et statistiques sont traités conjointement. Du côté de la simulation, l'accent est mis sur la conception et l'analyse de schémas adaptés au système, ainsi que sur la simulation efficace du réseau via des algorithmes parallèles et des méthodes de particules en interaction. Du côté statistique, l'objectif est d'estimer les paramètres du modèle à partir d'observations discrètes du potentiel de membrane, en recourant à des méthodes de maximum de vraisemblance par contraste, aux moindres carrés ou à des approches bayésiennes, et d'établir la consistance, la normalité asymptotique ainsi que les bornes de Cramér–Rao. Toutes les méthodes seront validées sur des données simulées et, dans la mesure du possible, sur des données expérimentales d'électrophysiologie.
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The mathematical modelling of neuronal electrical activity sits at the crossroads of neuroscience, probability theory, and statistics. Hodgkin–Huxley models, originally introduced in the s to describe action potential propagation in the squid giant axon, remain a fundamental reference. Their stochastic formulation — obtained by adding Brownian noise to the original ODEs — yields stochastic differential equations (SDEs) that capture the intrinsic fluctuations of ionic channels and the cellular environment. A thorough understanding of these models is essential for analysing electrophysiology data and designing neural interfaces or brain stimulators.
The starting point of the project is a Hodgkin–Huxley-type SDE system whose first equation governs the membrane potential V, driven by ionic current terms depending on the gating variables U and perturbed by additive Brownian noise of intensity σ. The second equation is a random ODE governing the gating variables U (activation and inactivation of ionic channels), whose voltage-dependent opening and closing rates α and β are nonlinear functions of V. This system combines a genuine SDE with a random ODE, requiring specialised analytical and numerical tools (cf Ref 3) in the biblio).
To model a biological network of N interacting neurons, the single-neuron system is extended to a coupled system of N SDEs, each driven by independent Brownian motions and supplemented by a mean-field interaction term involving a synaptic kernel K. As N → ∞, under suitable assumptions, this system converges to a mean-field limit, a phenomenon known as propagation of chaos (cf Ref 1) in the biblio). The theoretical and numerical study of this limit is a central component of the thesis.
In this PhD project numerical and statistical aspects are pursued jointly. On the simulation side, the focus is on designing and analysing schemes suited to the system as well as on efficient network simulation via parallel algorithms and interacting particle methods. On the statistical side, the aim is to estimate the model parameters from discrete observations of the membrane potential using contrast-based maximum likelihood, least-squares, or Bayesian methods, and to establish consistency, asymptotic normality, and Cramér–Rao bounds. In the network setting, one of the main objectives is the inference from multi-neuron observations (in particular, causality graph). All methods will be validated on simulated and, where possible, experimental electrophysiology data.
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Début de la thèse : 01/10/

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