Positions en ponts pour les sous-variétés de co-dimension 2 dans les variétés lisses // bridge positions for codimension–2 submanifolds in smooth manifolds

Topic description

L'objectif principal sera d'étendre la description diagrammatique des surfaces nouées dans les 4-variétés lisses aux dimensions supérieures. En dimension 4, Meier et Zupan ont développé la notion de diagramme d'ombre pour décrire une surface nouée dans une 4-variété trisectée.

Problème 1 :
Définir une notion de diagramme d'ombre pour une sous-variété S de codimension 2 plongée dans une variété lisse multisectée W et prouver qu'un tel diagramme encode la classe de difféomorphisme de la paire (W,S).

Dans le cas des surfaces nouées dans la 4-sphère, Meier et Zupan donnent une autre description diagrammatique des surfaces, appelés diagrammes triplans. Ceux-ci sont généralisés aux diagrammes à quadriplans pour les 3-variétés plongées dans la 5-sphère par Aranda, Blackwell, Kim, Naylor et Pongtanapaisan.

Problème 2 :
Définir une notion de diagramme n-plan pour une sous-variété S de codimension 2 plongée dans la n-sphère et prouver qu'un tel diagramme encode la classe d'isotopie de S.

Meier et Zupan ont introduit un ensemble de mouvements sur un diagramme triplan qui préserve la classe d'isotopie de la surface nouée. Hugues, Kim et Miller ont prouvé que cet ensemble de mouvements est complet: deux diagrammes triplans représentant des surfaces nouées isotopes sont toujours reliés par ces mouvements.

Problème 3 :
Définir des mouvements sur les diagrammes n-plans qui préservent la classe d'isotopie du plongement et prouver un résultat d'unicité.
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The main objective will be to extend the diagrammatic description of knotted surfaces in smooth 4-manifolds to higher dimensions. In dimension 4, Meier and Zupan developed the notion of shadow diagram to describe a knotted surface in a trisected 4-manifold.

Problem 1:
Define a notion of shadow diagram for a codimension 2-embedding S in a multisected smooth manifold W and prove that such a diagram encodes the diffeomorphism class of the pair (W,S).

In the case of knotted surfaces in the 4-sphere, Meier and Zupan give another diagrammatic description of the surfaces, the so-called tri-plane diagrams. These are generalized to four-plane diagrams for embedded 3-manifolds in the 5-sphere by Aranda, Blackwell, Kim, Naylor and Pongtanapaisan.

Problem 2:
Define a notion of n-plane diagram for a codimension-2 embedding S in the n-sphere and prove that it encodes the isotopy class of S.

Meier and Zupan introduce a set of moves on a triplane diagram which preserve the isotopy class of the knotted surface. Hugues, Kim and Miller prove that this set of moves is complete: every two triplane diagrams representing isotopic knotted surfaces are related by such moves.

Problem 3:
Define moves on n-plane diagrams that preserve the isotopy class of the embedding and prove a uniqueness statement.
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Début de la thèse : 01/10/

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