Schémas lagrangiens d'ordre élevé préservant les structures pour les écoulements de plasma // high order structure-preserving lagrangian schemes for plasma flows

Topic description

L'objectif de cette thèse est la conception, l'analyse et l'implémentation d'une nouvelle famille de schémas lagrangiens entièrement centrés cellule, d'ordre élevé et préservant les structures, allant au-delà de l'état de l'art actuel. Il existe encore un manque important de méthodes de volumes finis (FV) et de Galerkin discontinu (DG) d'ordre élevé pour la résolution des systèmes hyperboliques écrits sous formulation lagrangienne, et cette thèse vise précisément à combler cette lacune.

Le travail de recherche s'articulera autour de trois axes principaux.

Premièrement, de nouveaux solveurs de Riemann multidimensionnels spécifiquement adaptés à la formulation lagrangienne des équations gouvernantes seront développés. Ces solveurs opèrent aux sommets du maillage lagrangien, à la fois comme solveurs nodaux pilotant le mouvement du maillage et comme solveurs de Riemann pour l'évaluation des flux numériques. En prenant en compte l'ensemble du voisinage des sommets, ils intègrent une quantité plus riche d'informations physiques, permettant une meilleure précision dans la prédiction de la déformation du maillage ainsi que dans l'évolution de la solution physique. Des solveurs en variables primitives (Primitive Variable, PV) seront notamment conçus spécifiquement pour les équations de magnétohydrodynamique (MHD) afin de garantir la préservation d'états physiquement admissibles, tels que la positivité de la densité et de la pression.

Deuxièmement, une représentation curviligne des maillages non structurés sera introduite au moyen de paramétrisations géométriques d'ordre élevé. Une approche isoparamétrique sera adoptée, dans laquelle les mêmes fonctions de base seront utilisées à la fois pour l'approximation de la solution numérique et pour la représentation de la géométrie du maillage. Cette stratégie garantit une discrétisation lagrangienne pleinement cohérente et géométriquement compatible.

Troisièmement, les solveurs de Riemann en variables primitives développés précédemment serviront de briques élémentaires pour la construction de nouveaux schémas lagrangiens préservant les structures (structure-preserving, SP). Dans ce contexte, la localisation des variables physiques sur le maillage joue un rôle fondamental. Les maillages décalés (staggered meshes) apparaissent particulièrement adaptés à la conception de schémas SP capables de satisfaire au niveau discret les contraintes d'involution associées aux équations gouvernantes.
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The objective of this PhD thesis is the design, analysis, and implementation of a new class of high-order, structure-preserving, cell-centered fully Lagrangian schemes that advance beyond the current state of the art. A significant gap still exists in the development of high-order finite volume (FV) and discontinuous Galerkin (DG) methods for hyperbolic systems written in Lagrangian form, and this thesis aims to address this challenge.
The work will be structured around three main research directions.
First, new multidimensional Riemann solvers tailored specifically to the Lagrangian formulation of the governing equations will be developed. These solvers operate at the vertices of the Lagrangian mesh, acting both as nodal solvers governing mesh motion and as Riemann solvers for flux evaluation. By considering the entire vertex neighbourhood, they incorporate a richer amount of physical information, leading to improved accuracy in both the prediction of mesh deformation and the evolution of the physical solution. In particular, ad hoc Primitive Variable (PV) solvers will be designed for the magnetohydrodynamics (MHD) system in order to guarantee the preservation of physically admissible states, such as positive density and pressure.
Second, a curvilinear representation of unstructured meshes will be introduced through high-order geometric parametrizations. An isoparametric framework will be adopted, using the same basis functions for both the approximation of the numerical solution and the representation of the computational geometry. This approach ensures a fully consistent and geometrically compatible Lagrangian discretization.
Third, the newly developed PV Riemann solvers will serve as building blocks for the construction of novel structure-preserving (SP) Lagrangian schemes. In this context, the placement of physical variables on the computational grid plays a fundamental role. Staggered mesh arrangements are particularly attractive for designing SP schemes capable of satisfying the involution constraints of the governing equations at the discrete level.
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Début de la thèse : 01/10/

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