Topic description
Il existe une abondante littérature sur les problèmes ouverts concernant les groupes modulaires et leurs relations avec les groupes de surfaces, les groupes arithmétiques, les groupes relativement hyperboliques et la topologie des variétés de dimension 3. L'objectif de ce projet est de faire progresser la compréhension de la structure des groupes modulaires, de leurs actions sur les espaces géométriques et de leurs représentations linéaires.
Nous formulons plusieurs problèmes de recherche liés à ce sujet. Les méthodes utilisées pour étudier ces objets sont extrêmement diverses, allant des techniques géométriques et topologiques aux approches arithmétiques et de théorie des représentations. Un premier problème naturel est le suivant :
Montrer que toute action isométrique du groupe modulaire de genre g sur un complexe cellulaire complet CAT de dimension (g-1) possède un point fixe.
Des résultats partiels dans cette direction sont connus dans le cas des actions semi-simples. La compréhension des propriétés résiduelles des groupes modulaires nécessite une compréhension plus approfondie de leurs quotients finis : combien y en a-t-il, peut-on décrire l'ensemble complet des quotients finis, et comment cette information est-elle encodée dans le complété profini ? Alors que l'on pensait autrefois que les quotients finis des groupes modulaires étaient relativement rares, des développements récents suggèrent la possibilité que tous les groupes simples finis suffisamment grands puissent apparaître comme quotients.
Une approche possible consiste à étudier les représentations homologiques, dans le prolongement des travaux de Koberda, Hadari et Liu, et à examiner leurs liens avec les propriétés de théorie des groupes de ces derniers. Ces représentations trouvent en partie leur origine dans un problème ouvert bien connu posé par Ivanov, qui consiste à déterminer si les sous-groupes d'indice fini des groupes modulaires possèdent une abélianisation finie.
L'étude des quotients finis des groupes de variétés de dimension 3 soulève plusieurs questions ouvertes connexes. Une perspective complémentaire, plus algébrique — s'appuyant sur des méthodes arithmétiques et la théorie des modules — peut être développée à partir des résultats des travaux cités ci-dessous.
L'un des objectifs de ce projet de doctorat concerne la question suivante.
Prouver que le groupe d'automorphismes du groupe libre à deux générateurs possède des quotients à caractéristique simple finie de rang arbitrairement grand.
Un tel résultat répondrait à une question posée par William Y. Chen, Alexander Lubotzky et Pham Huu Tiep, qui ont construit une infinité de tels quotients de rang trois. Une stratégie pour obtenir ce résultat utilise les représentations quantiques du groupe modulaire du tore à deux trous. La mise en œuvre de cette stratégie nécessite d'abord de calculer la fermeture de Zariski de ces représentations dans des cas spécifiques, puis d'appliquer un théorème d'approximation fort dû à Weisfeiler et Nori. Cette méthode a déjà été utilisée avec succès par Masbaum, Reid et Funar pour les groupes des classes de correspondance de surfaces fermées de genre supérieur.
Nous formulons d'autres questions connexes dans la proposition au format PDF.
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There is a vast literature on open problems concerning mapping class groups and their relationships with surface groups, arithmetic groups, relatively hyperbolic groups, and the topology of 3-manifolds. The aim of this project is to make progress in understanding the structure of mapping class groups, their actions on geometric spaces, and their linear representations.
We formulate several research problems related to this topic. The methods used to study these objects are extremely diverse, ranging from geometric and topological techniques to arithmetic and representation-theoretic approaches. A first natural problem is:
Show that every isometric action of the genus g mapping class group on a (g-1)-dimensional complete CAT cell complex has a fixed point.
Partial results in this direction are known in the case of semi-simple actions. Understanding the residual properties of mapping class groups requires a deeper understanding of their finite quotients: how many there are, whether one can describe the full set of finite quotients, and how this information is encoded in the profinite completion. While finite quotients of mapping class groups were once thought to be relatively scarce, recent developments suggest the possibility that all sufficiently large finite simple groups may occur as quotients.
One possible approach is to study homological representations of mapping class groups, following work of Koberda, Hadari, and Liu, and investigate their connections with group-theoretic properties of mapping class groups. These representations are motivated in part by a well-known open problem of Ivanov, which asks whether finite-index subgroups of mapping class groups have finite abelianization.
The study of finite quotients of 3-manifold groups raises several related open questions. A complementary, more algebraic perspective—drawing on arithmetic methods and the theory of moduli—can be developed using the results of the works cited below.
One goal of this PhD project, is concerned with the following question.
Prove that the automorphism group of the free group on two generators has finite simple characteristic quotients of arbitrarily large rank.
Such a result would answer a question of William Y. Chen, Alexander Lubotzky, and Pham Huu Tiep, who constructed infinitely many such quotients of rank three. One strategy to obtain this result uses quantum representations of the mapping class group of the twice-punctured torus. Implementing this strategy requires first computing the Zariski closure of these representations in specific cases and then applying a strong approximation theorem due to Weisfeiler and Nori. This method has already been successfully used by Masbaum, Reid, and Funar for mapping class groups of closed surfaces of higher genus.
We formulate other related questions in the proposal in pdf.
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Début de la thèse : 01/10/
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