Topic description
Une variété de dimension 3 peut être dotée d'une structure de contact qui est un champ plan non intégrable. À une structure de contact on peut associer une famille de champs vectoriels non singuliers appelés champs Reeb. Ceux-ci apparaissent fréquemment en dynamique hamiltonienne, par exemple dans les modèles de mécanique céleste, et les flots géodésiques des surfaces constituent également des exemples de champs de Reeb. Au cours des cinq dernières années, différentes propriétés dynamiques ont été établies pour les champs vectoriels de Reeb génériques. L'une d'entre elles est liée à l'entropie topologique : un champ de Reeb générique possède une entropie topologique positive.
L'entropie topologique est une mesure de complexité d'un système dynamique qui quantifie la croissance exponentielle des différentes orbites. En dimension 3, le nombre d'orbites périodiques d'un flot à entropie topologique positive croît de manière exponentielle par rapport à la période. Les systèmes dynamiques à entropie nulle ne sont pas nécessairement simples : la croissance du nombre d'orbites différentes peut être polynomiale et les ensembles minimaux peuvent présenter une topologie très compliquée.
L'objectif principal de cette thèse est d'étudier les champs Reeb à entropie nulle sous différents angles.
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A 3-dimensional manifold can be equipped with a contact structure that is a non-integrable plane field. To a contact structure one can associate a family of non-singular vector fields known as the Reeb vector fields. These appear frequently in Hamiltonian dynamics, for example in model of celestial mechanics and geodesic flows of surfaces are also examples of Reeb vector fields. In the past 5 years, different strong dynamical properties where established for generic Reeb vector fields. One of them is related to topological entropy: a generic Reeb vector field has positive topological entropy.
Topological entropy is a complexity measure for a dynamical system that measure the exponential growth of different orbits. In dimension 3, the number of periodic orbits of a flow with positive topological entropy grows exponentially with respect to the period. Entropy zero dynamical systems, are not necessarily simple, the growth of the number of different orbits can still be polynomial and minimal sets can have very complicated topology.
The main objective of the thesis is to study entropy zero Reeb vector fields from different points view.
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Début de la thèse : 01/10/
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